Для теста слегка подогрейте 240 мл молока и растворите в нем дрожжи. Добавьте соль, сахар, влейте 1–1,5 ст. л. растительного масла. Перемешивайте, пока соль и сахар полностью не растворятся.
Просейте в молочную смесь 330 г муки и замесите не слишком крутое тесто. Соберите тесто в шар, накройте полотенцем и уберите в теплое место на 1–2 часа для расстойки. Через 1 час обомните. Тесто в процессе расстойки должно увеличиться примерно в 2 раза.
Пока тесто расстаивается, картофель очистите, нарежьте крупными кусками и варите в кипящей воде 25–30 минут до готовности. Разомните картофель толкушкой в пюре и влейте столько горячего молока, чтобы пюре получилось не слишком жидким, но и не очень густым. Посолите, вбейте в пюре 1 яйцо и хорошо перемешайте.
Выложите подошедшее тесто на присыпанную оставшейся мукой поверхность и разделите на 20 примерно одинаковых кусочков — именно столько шанежек должно получиться. Сформируйте из заготовок колобки и прижмите их так, чтобы получились лепешечки.
Разогрейте духовку до 180–200 °С. Переложите лепешки из теста на противень, сверху распределите картофельное пюре, по центру сделайте небольшое углубление. Взболтайте оставшееся 1 яйцо со сметаной и влейте в каждое углубление по 1 ч. л. яично-сметанной заливки. Выпекайте шаньги 25–30 минут.
Пока шаньги выпекаются, растопите сливочное масло в микроволновой печи. Примерно за 5 минут до окончания выпечки достаньте шаньги и смажьте их растопленным сливочным маслом (немного масла сохраните).
Достаньте румяные и аппетитные шаньги из духовки, смажьте их остатками растопленного сливочного масла и сразу подавайте.