Для опары разведите в теплом молоке дрожжи, щепотку сахара и 1 ст. л. муки. Оставьте опару на 15 минут, чтобы дрожжи «заработали» — смесь начнет пениться.
В просеянную оставшуюся муку добавьте разрыхлитель, соль, оставшийся сахар, кефир, размягченное сливочное масло, желток и подошедшую опару. Замесите мягкое тесто. Вымешивайте не менее 10–15 минут. Накройте тесто пищевой пленкой и поставьте в теплое место на 1 час для расстойки — тесто должно увеличиться в объеме вдвое.
Из теста скатайте 12–14 шариков, выложите на застеленный пергаментом противень, накройте пищевой пленкой и оставьте на 30 минут подойти.
Тем временем приготовьте начинку. Картофель очистите, произвольно нарежьте и варите до готовности 25 минут. Растолките в пюре, добавьте молоко (150–200 мл), яйцо, посолите, перемешайте и остудите.
Дном стакана сделайте в каждом шарике теста углубление и выложите в него начинку. Оставьте шанежки еще на 20 минут — они должны увеличиться в объеме.
Разогрейте духовку до 180 °С. Смажьте края теста взболтанным яйцом и выпекайте шанежки 30 минут. Готовые шанежки накройте пергаментом и дайте постоять 10 минут. Затем подавайте.