Для теста разогрейте молоко до 40 °С и растопите в нем масло и сахар. Муку смешайте с дрожжами и солью, влейте молочную смесь, добавьте яйца и замесите тесто. Вымешивайте, подливая растительное масло, до эластичности. Накройте тесто в миске пленкой и оставьте подходить в теплом месте на 1,5 часа.
Для начинки варите рис в 1 л кипящей подсоленной воды 20 минут. Откиньте на сито. Лук очистите, мелко нарежьте и обжаривайте на растительном масле 10 минут. Смешайте лук с рисом.
Варите 2 яйца вкрутую 9 минут, затем остудите в холодной воде, очистите, порубите, добавьте к рису с луком. Грибы нарежьте средними кусочками и также добавьте в начинку. Посолите, поперчите.
Разогрейте духовку до 180 °С. Разделите тесто на 40 частей примерно по 30 г каждая. Округлите каждый кусочек теста, подкатайте в шарик (мука не нужна). Накройте полотенцем и оставьте на 20 минут.
Раскатайте каждый шарик в лепешку (опять без дополнительной муки), в центр положите ложечку начинки. Защипните с трех сторон так, чтобы получился треугольный пирожок с маленьким отверстием сверху по центру. Выложите расстегаи на застеленные пергаментом противни на некотором расстоянии друг от друга, накройте полотенцем и дайте расстояться 20–30 минут.
Кисточкой смажьте расстегаи оставшимися взбитыми яйцами и выпекайте 12–15 минут до румяной корочки. Готовые расстегаи сразу смажьте сливочным маслом, накройте пергаментом и полотенцем и оставьте на 15 минут или до полного остывания.