Смешайте в миске муку, 1 яйцо, 130 г сливочного масла комнатной температуры и сметану. Замесите мягкое тесто и раскатайте его в пласт. Смажьте разъемную форму для выпечки оставшимся сливочным маслом, выложите в нее тесто, прижимая ко дну, и сформируйте высокие бортики.
Куриное филе вымойте, обсушите и нарежьте мелкими кубиками. Разогрейте растительное масло в сковороде и обжаривайте мясо 5–7 минут до золотистого цвета. Добавьте овощную смесь с шампиньонами, посолите, приправьте специями и готовьте еще 5 минут.
Слегка взбейте 4 яйца, добавьте натертый сулугуни, измельченную зелень, соль и специи. Влейте массу в сковороду с курицей, перемешайте и снимите с огня.
Выложите начинку в подготовленную форму с тестом, разровняйте и посыпьте тертым пармезаном. Разогрейте духовку до 200 °С и выпекайте киш 40 минут. Подавайте горячим.