Для теста растворите в 350 мл теплой воды дрожжи и сахар. Оставьте на 10 минут. Добавьте 80 г растопленного сливочного масла, соль и перемешайте.
Понемногу добавляйте 450 г просеянной муки и руками вымешивайте тесто. Оно должно получиться мягким, но хорошо держать форму. Если тесто сильно липнет к рукам и растекается, подсыпьте еще немного муки.
Накройте тесто пищевой пленкой и оставьте при комнатной температуре примерно на 1 час для расстойки — за это время тесто должно увеличиться в объеме минимум вдвое.
На присыпанной оставшейся мукой поверхности, обомните тесто и сформируйте 3 шара. Накройте их полотенцем и оставьте на 15–20 минут.
Для начинки варите картофель в мундире 25–30 минут. Очистите и разомните в грубое пюре.
Лук очистите и мелко нарежьте. Шампиньоны нарежьте ломтиками. Разогрейте растительное масло в сковороде и обжаривайте лук с грибами 10 минут, помешивая. Смешайте с картофелем. Сулугуни натрите на крупной терке и добавьте в начинку.
Каждый кусок теста раскатайте в лепешку диаметром 20 см. Положите в центр каждой по 200 г начинки, подбирая края теста. Защипните его сверху, переверните. Сделайте в середине небольшое отверстие для выхода пара. Раскатайте каждую лепешку скалкой до диаметра 40 см.
Разогретой духовку до 250 °С. Застелите противень пергаментом и выпекайте хачапури 3–4 минуты. Подавайте горячими, смазав оставшимся сливочным маслом.