Мелкой теркой снимите с 1 лайма цедру, выжмите сок. Нарежьте филе поперек волокон ломтиками толщиной около 1 см и выложите в зип-пакет вместе с 5 веточками мяты, ромом, цедрой и соком лайма, сахаром и солью.
Встряхните пакет и закройте, выжимая воздух. Оставьте мариноваться минимум на 30 минут при комнатной температуре или на 24 часа в холодильнике.
Разогрейте гриль. Выложите индейку на решетку и жарьте по 5 минут с каждой стороны, смазывая оставшимся в пакете маринадом.
Оставшиеся лаймы нарежьте кружочками толщиной 1–1,5 см и обжарьте на гриле рядом с индейкой. Подавайте индейку с лаймами, посыпав листьями с оставшихся веточек мяты.