Налейте в кастрюлю 2,5 л холодной воды, выложите в нее грудинку, доведите до кипения, снимите пену, затем убавьте огонь и варите 40 минут. Когда бульон сварится, процедите его через крупное сито. Мясо срежьте с костей и верните в кастрюлю.
Пока варится бульон, 1 луковицу очистите и мелко нарежьте. Разогрейте в сковороде 2 ст. л. оливкового масла и обжаривайте лук 5–7 минут до золотистого цвета. Добавьте квашеную капусту и тушите на среднем огне 45 минут, периодически помешивая.
Свеклу очистите и натрите на крупной терке. Разогрейте в сотейнике 1 ст. л. оливкового масла и обжаривайте свеклу на среднем огне 3 минуты. Добавьте немного бульона и уксус, накройте сотейник крышкой и тушите свеклу 15 минут.
Оставшуюся луковицу и морковку очистите. Лук мелко нарежьте, морковь натрите на крупной терке. Разогрейте в сковороде 2 ст. л. оливкового масла и обжаривайте лук на среднем огне, помешивая, 5–7 минут до золотистого цвета. Добавьте морковь и жарьте еще 5 минут, затем добавьте томатную пасту и готовьте все вместе 5 минут.
Картофель очистите и нарежьте кубиками. Положите картофель в кипящий бульон и варите 5 минут. Добавьте лук, морковь, тушеную капусту и готовьте еще 10 минут. Затем положите свеклу, снова доведите борщ до кипения, уменьшите огонь до минимального, добавьте сахар, посолите, поперчите и томите суп 10 минут под крышкой.
Чеснок очистите и пропустите через мясорубку вместе с салом. Укроп мелко нарежьте. Положите сало и укроп в борщ и снимите кастрюлю с огня. Накройте крышкой и дайте настояться минимум 10 минут. Подавайте борщ со сметаной.